Nebojša Milićević

FRAKTALI KAO PSIHOLOŠKI POJAM

Prof. dr Nebojša Milićević
Univerzitet u Nišu, Filozofski fakultet, Departman za psihologiju

Rezime: Osnovna odlika fraktalnih geometrijskih oblika je samosličnost, tako da se svaki fraktal može razložiti na manje delove koji  predstavljaju umanjenu kopiju celine. Pored najčuvenijeg Mandelbrotovog fraktala (Mandelbrot, 1982) poznati su: Sjerpinski trougao, Pitagorino drvo, Kohova pahulja, Zmajeva krivulja, Kantorov oblak, Julija set itd. Fraktali su prisutni u prirodi ali i u umetnosti. Neki umetnici su fraktale primenjivali i kao tehniku koja im je donosila inspiraciju i olakšavala stvaranje. Psihologija se bavila percepcijom i estetskim doživljajem fraktalnih formi. Dat je kratak prikaz autorovih istraživanja Polokovih slika, prirodnih formi i generisanih fraktala, kao i istraživanja Tejlora i saradnika na tu temu. Pred psihologijom je tek ozbiljan zadatak da svet fraktala uvede u svoj predmet istraživanja i da nađe nove mogućnosti primene tih rezultata, posebno u psihologiji umetnosti i stvaralaštva.

Ključne reči: estetski doživljaj, Mandelbrotovi fraktali, apstraktna umetnost, Džekson Polok.

Osnovna odlika fraktala, kao geometrijskih oblika, je samosličnost. Svaki ovakav geometrijski oblik se može razložiti na manje delove koji predstavljaju (makar i približno) umanjenu kopiju celine (Kocić, 2003). Reč fraktal potiče od latinske rečifractus, što znači izlomljen. Konstrukcija algebarskih fraktala se vrši tzv.  iterativnim nelinearnim funkcijama čija zadivljujuća lepota,tek sa razvojem kompjuterske grafike, postaje vidljiva u pravom svetlu.Pored najčuvenijeg Mandelbrotovog fraktala (Mandelbrot, 1982) poznati su još: Sjerpinski trougao, , Kohova pahulja, Pitagorino drvo (slika 1), Zmajeva krivulja, Šajnhausova kriva, Kantorov oblak, Julija set itd.

 

Slika 1.  Različite vrste fraktala čija je osnovna osobina samosličnost: a) Sjerpinski trougao; b) Kohova pahulja; b) Pitagorino drvo.
U prirodi srećemo brojne oblike koji odgovaraju fraktalima kao što su: oblaci, planinski venci, obale, pahulje, grane drveća, pluća, neuroni, električne munje i sl.

Primena fraktala kao tehnike u slikarstvu

O vezi fraktalnih formi sa umetničkim stvaranjem govorilo se još od antičkih dana. Naime, posmatranje i imitiranje fraktala može olakšati javljanje ideja(prema Kocić, 2003).
Tako Filostratos raspravlja o “slikama u oblacima” i korišćenju ruku i uma u imitiranju prirode.Plinije, više od dva milenijuma pre Poloka, zapaža da sunđer natopljen bojom bačen na beli zid može da izazove lepe efekte.
Kineski slikar Sung Ti u XI veku preporučuje metod zaklanjanja. Komad bele svile stavlja se preko oronulog zida a slikar gledajući krozsvilu zapaža prekrasne pejzaže.
Leonardo da Vinči u svom Traktatu o slikarstvu prikazuje metod mrlja. On slično kao i Pietro de Kosimo naglašava značaj amorfnih mrlja (mrlje od vlage, oblaci ili mutna voda)  kao inspiraciju, tj. kao sredstvo za “navođenje uma na različita otkrića”.
Holandski slikar Van Gojen (Van Goyen, 1596-1656) je sa lakoćom slikao prirodu koristeći mrlje boja. Iznenađujuća je sličnost oblaka iz njegovog pejzaža i kompjuterski generisanih oblaka (slika 2).


Slika 2. Poređenje Van Goyenovih naslikanih oblaka: Dva čoveka na mestu preko potoka (detalj) (a) sa tipičnim fraktalnim kompjuterski generisanim “oblacima” (b)
https://orderinchoas.wordpress.com/tag/chaos-and-fractals/

Aleksandar Kozens (Alexander Cozens 1752-1797) koristi obrise linija mrlja od mastila u crtanju pejzaža. Ovom metodom uticao je na Johna Constablea.
Mnogo kasnije, 1921. godine, Roršah (Hermann Rorschach, 1884-1922) u psihologiji konstruiše projektivnu psihodijagnostičku tehniku, koja koristi mrlje od mastila.
Nemački pesnik Justinus Kerner(Justinus Andreas Christian Kerner, 1786 – 1862)koristi mrlje od mastila da bi dobio figurice “duhova” koje su mu zatim služile kao inspiracija.
Britanski slikar Tarner (J.M.W. Turner, 1775-1851)amorfnim mrljamapostiže u svojim pejzažima poseban efekat dinamičnosti, napetosti i vibrantnosti.
Impresionistipomoću bojenih mrlja dočaravaju prirodu “onakvu kako je oko vidi” i postižu suptilne varijacije u nijansama vode, neba i prirode (Trifunović, 1982).
Sa usitnjavanjem mrlja u tačke čistih boja impresionizam ulazi u fazu pointilizama čiji su najpoznatiji predstavnici ŽoržSera (Georges Seurat 1859 -1891) i P. Sinjak (Paul Signac, 1863-1935).  Odilon Redon (1840-1916) takođe koristi raspršene mrlje boja u svojim delima.
U modernom slikarstvu korišćenje fraktala je još izraženije.Ovi umetnici su nesvesno upotrebili neke od poznatih fraktala. Tako, Salvador Dali u svom delu “Lice rata” i ne znajući za fraktal “Kantorov prah”primenjuje ga u ovoj slici.  (Kocić, 2003). Openhajm (Moritz Daniel Oppenheim, 1800–1882) je autor čupavih, vlaknastih skulptura kao što je Šoljica za kafu u zrnu. Ove tzv. fazi skulpture mogu se dobiti modifikacijom fraktala Sjerpinskog (Kocić, 2003).

Fraktali kroz istoriju umetnosti

Mnogi umetnici tokom istorije su u svojim delima nagovestili fraktalne forme. Ove složene forme možemo uočiti još u Keltskim ilustracijama i upotrebnim predmetima; Islamskoj umetnosti, ornamentima i mozaicima; Indijskoj religiji;u umetnosti i arhitekturi starih Egipćana, Grka i Rimljana, itd. Fraktale srećemo kod Leonarda da Vinčija kao i kod mnogih drugih umetnika. Posebno su prisutni u stvaralaštvu umetnika moderne umetnosti: Salavadora Dalija, Františeka Kupke, M.C.Ešera i  drugih.
Džekson Polok (Jackson Pollock, 19121956) se posebno izdvaja fraktalnim formama u svom apstraktnom ekspresionizmu.

Ispitivanja estetske preferencije i estetskog doživljaja fraktala u psihologiji

Gustav Teodor Fehner, nemački prirodnjak i filozof, profesor fizike na Univerzitetu u Lajpcigu, zajedno sa Vilhelmom Vuntom i Hermanom Helmholcom, jedan je od osnivača moderne eksperimentalne psihologije. Njegov najveći doprinos je taj što je dokazao da se merenje i matematički metod mogu primeniti u psihologiji kao i u drugim prirodnim naukama.
Idejazlatnog preseka potiče još iz antičkog vremena a ova proporcija se dobija ako se manji deo odnosi prema većem kao veći prema celini: a:b = b:(a+b). Adolf Cajzing(Zaising, 1854)* prvi sistematski ispituje ovaj odnos i primenjuje u analizi poznatih umetničkih dela. Princip zlatnog preseka nalazimo u osnovi mnogih prirodnih procesa, u mnogim oblicima organske prirode biljnog i životinjskog sveta i javlja se kao princip organskog rasta. Značaj Fehnera je u tome što on prvi eksperimentalno, statistički,  proverava ideju o zlatnom preseku (sectio aurea). Na većem broju subjekata koji imaju zadatak da odaberu najdopadljiviji četvorougao, oslanjajući se na modalnu vrednost dobija da je nadopadljivija proporcija 1: 0,62. Na taj način on počinje sa tzv. estetikom odozdo.
Ovaj dobro poznati Zlatni presek, odnosno Zlatni pravougaonik, takođe ima osobinu samosličnosti, tj. može se smatrati fraktalom. Kada se iz Zlatnog pravougaonika izdvoji (ili doda) kvadrat, uvek ostaje manji (ili veći) pravougaonik sa potpuno istim “zlatnim” proporcijama (1: 0,618), i tako u nedogled… Spirala nastala od lukova koji spajaju suprotna temena upisanih kvadrata naziva se takođe “zlatna spirala”. Ova logaritamska spirala nosi u sebi matricu rasta koja je prisutna u prirodi u brojnim primerima kao što je puž Nautilus, (slika 3 desno).

      
Slika 3. “Zlatni pravugaonik” sa upisanom “zlatnom spiralom” takođe ima osobinu fraktala i desno – ekvivalentan fraktal u prirodi: kućica puža Nautilus Pompilius

Birkof (Birkhoff, 1933), po struci matematičar,ali i jedan od pionira eksperimentalne estetike, polazeći od Fehnerovih istraživanja,traga za formulom estetske mere. On dolazi do formule M = f(O/C), po kojoj je estetska mera jednog objekta količnik uređenosti O i kompleksnosti C. Estetska vrednost se, po njemu, sastoji u postizanju što većeg reda uz što manju složenost, a odnos O/C prestavlja gustinu uređenosti estetskog objekta. Svoju formulu testira na primeru jednostavnih geometrijskih objekata ali i na primerima poezije i muzike. Današnja veoma razvijena oblastračunarske estetike (Computational aesthetics) se razvila na bazi Birkofovog učenja (Hoening, 2005) i danas ima široku primenu.
Čarls Osgud (Osgood, 1957), polazeći od Takerovih istraživanja (Tucker, 1955), osmišljava jedan instrument koji je prvo bio namenjen za ispitivanje konotativnog značenja reči a to je skala semantičkog diferencijala.Skala se sastoji od većeg broja sedmostepenih bipolarnih skala definisanih kontrastnim atributima. Ispitanik ima zadatak da označavanjem određenog podeoka na skali proceni intenzitet izraženosti određene dimenzije reči, pojma ili objekta u pozitivnom ili negativnom smeru. Ovaj instrument se pokazao koristan u ispitivanju estetskih doživljaja pa ga pored Belajna (Belyne, 1971) mnogi autori adaptiraju i dorađuju (Martindale, 1990; Janković,1999; Marković, 2010; Pejić i Milićević, 2007) za ispitivanje estetskih doživljaja. Skala semantičkog diferencijala je pogodna i za ispitivanje fraktalnih formi.

Novija ispitivanja estetskog doživljaja fraktalnih formi

Tejlor i saradnici (Taylor et al., 2003) su izračunali fraktalnu vrednost (D) Polokovih slika od 1944-1954. godine i dobili trend rasta tokom perioda umetnikove karijere. Takođe su ispitivali vizuelnu preferenciju Polokovih slika, prirodnih fraktala i kompjuterski generisanih fraktala u zavisnosti od njihove fraktalne vrednosti.  Dobijeno je da se najviše preferiraju stimulusi srednje fraktalne vrednosti a najmanje oni sa najnižom i najvišom fraktalnom vrednošću. Nalazi su slični Berlajnovim (Berlyne, 1971) i Martindejlovim (Martindale, 1990) nalazima o odnosu nivoa pobuđenosti (arousal potencijala) i hedonističke vrednosti stimulusa.
Predrag Ognjenović (1991) je u svom poznatom eksperimentu ispitivao preferencije vizuelnih stimulusa tri nivoa obrade u zavisnosti od vremena ekspozicije. Tom prilikom je dobio da se pri najkraćoj ekspoziciji preferiraju stimulusi koje odlikuje harmonija (H), pri dužoj redudantni stimulus (R) koje odlikuje ukrašenost i višak detalja; a pri najdužoj – detalji originalnih umetničkih dela koje odlikuje distantnost (D). Ova tri modusa različite kognitivne dubine, mogu se posmatrati i kao principi estetiziranja kroz istoriju umetnosti (Ognjenović, 1991), kroz individualnu umetničku karijeru (Milićević, 2011) ali i tokom geneze pojedinačnog umetničkog dela (Milićević, 2005). Ova tri modusa mogu poslužiti i kao mere kojima se može opisati estetski profil pojedinačnih umetničkih dela.
Milićević i Komlenić (2016)polazeći od nalaza navedenih autora i Ognjenovićeve teorije estetskog odlučivanja sa tri nivoa, ispitujuda li se estetske procene različitih vrsta fraktala razlikuju međusobno u pogledu dimenzija a) Harmonije, b) Ukrašenosti iliRedundanse i c) Distanosti. Takođe je uzeta u obzir i obojenost ovih fraktala, kao i procene dopadanja (ND) i umetničke vrednosti (UV). Stimulusi su izlagani preko računara, pojedinačno svakom ispitaniku, bez vremenskog ograničenja, a ispitanik je imao zadatak da svaki stimulus oceni na skalama semantičkog diferencijala.  Prirodne forme su ocenjene u pogledu harmoničnosti (H) najvišim skorovima a Polokove slike najnižim. Mandelbrotovi fraktali su najviše ukrašeni, tj. redundantni (R) a prirodne forme najmanje. Slični nalazi su i u pogledu distantnosti (D). Prirodne forme su ocenjivane kao dopadljivije i umetnički najvrednije u odnosu na fraktale i apstraktne slike. Iako rezultati nisu potvrdili sve hipoteze Ognjenovićeve teorije, oni su u skladu sa karakteristikama tri vrste stimulusa. Studenti preferiraju prirodne stimuluse ali više procene Distantnosti pridaju Fraktalnim formama i Polokovim slikama nego detaljima iz prirode. U daljim istraživanjima, potrebno je uključiti matematičke fraktalne vrednosti, jer se u ranijim istraživanjima pokazalo da se preferiraju forme srednjih fraktalnih vrednosti.

Slika 4. Stimulusi korišćeni u istraživanju: a) kompjuterski generisani fraktali; b) detalji slika Džekona Poloka i c) detalji iz prirode

Da li je fraktalna umetnost – umetnost?

Razvojem kompjuterske grafike taj matematički svet je postao vidljiv a njegov najupečatljiviji aspekt je bio, pre svega, ne naučne, već estetske prirode. Mandelbrot počinje da razmišlja i govori o “fraktalnoj umetnosti “. Danas se na internetu mogu naći zadivljujuća dela „fraktalne umetnosti“ koja se određuje kao vrsta digitalne umetnosti koja se bavi predstavljanjem fraktala pomoću formula. Pri tome se koriste specijalizovani programi za generisanje fraktala kao što su npr.  Apophysis, Chaotica ili UltraFractal. I pored zadivljujuće, nestvarene lepote ovih fraktala savremenom umetniku će zasmetati prisustvo „određenosti“  kompjuterskim kodom koji je u pozadini ovih dela. Na ovu primedbu će neki odgovoriti da je slilčan problem bio i sa pojavom fotografije koja ipak može biti umetnička a da su digitalni programi potrebni kao i slikaru četkice. Digitalni umetnik takođe eksperimentiše bojom, perspektivom, oblicima, pokušavajući da izrazi svoje emocije i delu ostavi svoj lični pečat.
Ipak, u manifestu Fraktalne umetnosti navodi se da „Fraktalna umetnost ne može biti u potpunosti stohastička i nepredvidiva jer uključivanjem humanog faktora ona postaje delimično deterministička”(Kerry Mitchell, 1999, prema Kocić, 2003).

Da li u psihologiji ima mesta za  fraktale i matematiku?

Pitanje uopšte i ne bi trebalo postavljati. Ali za one skeptične, treba samo podsetiti na početke psihologije i eksperimentalne estetike. Ova nauka je nastala na principima pozitivizma a matematički zakoni su utkani u srž svake nauke, pa i psihologije.Danas postoje grane psihologije kao što su matematička psihologija, psihologija nauke i sl.
Psihologija umetnosti i eksperimentalna estetika se bave estetskim doživljajima, pa je moguće ispitivati i estetski doživljaj fraktala. Zakonitosti otkrivene u preferenciji estetskih stimulusa (Berlyne, Martindale, 1990; Milićević, 2011) su primenljivi i na ispitivanje fraktala. Umetnička dela srednje fraktalne vrednosti su dopadljivija od onih sa niskom ili visokom fraktalnom vrednošću. Fraktalna vrednost se na taj način, može posmatrati i kao estetska mera i pružiti korisne informacije o estetskim profilima različitih umetničkih dela, individualnih umetničkih karijera, umetničkih pravaca i epoha. Bilo bi takođe zanimljivo ispitivati i fraktalnu vrednost u toku genezepojedinačnog umetničkog dela, tj. umetničkog stvaranja.
Sve je popularnije crtanje fraktala kao psihoterpijska tehnika. Fraktalne tehnike pored psihoterapeutskog efekta, mogu se primeniti u podsticanju dečije mašte i kreativnosti. Umetnici su, od antičkih vremena,istočnjačkih umetnika, preko Leonarda da Vinčija pa sve do pripadnika savremene umetnosti, bili svesni inspirativne (projektivne) moći fraktalnih oblika,pa suih  primenjivali kao tehnike.
Savremene psihološke projektivne tehnike se takođe zasnivaju na fraktalnim stimulusima (npr. Rorschachov test) i predstavljaju ne samo moćno psihodijagnostičko sredstvo, već i elegantan i brzi put do ljudske podsvesti.
Pred psihologijom kao naukom tek predstoji zadatak da čaroban svet fraktala uvede u svoj svet i obrnuto: da u estetskom doživljavanju, tj. percepciji fraktala otkrije psihološke zakonitosti. Ova primena bi bila posebno korisna u psihologiji umetnosti i stvaralaštva.

Literatura:
  • Berlyne, D. E. (1971). Aesthetics and psychobiology. New York: Appleton-Century-Crofts.
  • Janković, D. (1999 b). Konotativni aspekt značenja: konstrukcija konotativnog diferencijala. Beograd, LEP saopštenja 66.
  • Marković, S. (2010). Aesthetic Experience and the Emotional Content of Paintings, Psihologija, Vol 43 (1)
  • Kocić, Lj. (2003). Matematika i estetika. Niš: Niški Kulturni Centar.
  • Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company.
  • Martindale, C. (1990). Clockwork Muse, Predictability of artistic change, New York, Basic Books.
  • Milićević, N. (2005). Nastajanje Pikasove Gernike u svetlu kognitivnih aspekata estetskog odlučivanja, neobjavljeni magistarski rad, Univerzitet u Beogradu.
  • Milićević, N. (2011). Metode serijske reprodukcije vizuelnih stimulusa u ispitivanju kreativnog procesa. Doktorska disertacija, Univerzitet u Nišu, Filozofski fakultet.
  • Ognjenovic, P. (1991).  Processing of Aesthetic Information. Empirical Studies of the Art, Vol.9 (1) 1-9, 1991.
  • Pejić, B. i Milićević, N. (2007). Provera skale procene estetskog doživljaja. XIII naučni skup: Empirijska istraživanja u psihologiji, Univerzitet u Beogradu, Filozofski fakultet, 25-26.
  • Taylor, R.P., Spehar, B., Wise, J.A., Clifford, C.W.G., Newell, B.R., & Martin, T.P. (2003).
  • The Visual Complexity of Pollock’s Dripped Fractals – Nonlinear Dynamics. Psychology, and Life Sciences.
Advertisements